Мудров а.н. аксиомы рекламы — файл n1.doc

Определение группы

Классическое определение группы выглядит следующим образом:

Группа

— это множество с одной бинарной операцией
, которая удовлетворяет следующим аксиомам группы:

Рассмотрим замечания, связанные с определением группы.

Замечание №1

Важно понимать, что в группе определена всего лишь одна бинарная операция. Например, мы привыкли работать с обычными для нас действительными числами

С данными числами можно производить различные операции: сложение, вычитание, умножение и деление. В случае же группы с элементами можно производить только лишь одну операцию.

Замечание №2

Иногда для облегчения записи вместо

пишут просто
, понимая при этом какая операция определена в группе

Обратите внимание на то, что под операцией

подразумевается, вообще говоря, любая операция, необязательно умножение. Однако, данную операцию принято называть операцией умножения.

Далее, дадим определение бинарной операции.

Бинарная операция

— это операция, которая взаимодействует с двумя элементами множества. Например, в множестве целых чисел нам знакома привычная операция сложение — бинарный плюс
5+9.
Данная операция взаимодействует с двумя числами
5
и
9
Примером операции, которая взаимодействует лишь с одним элементом множества, может служить унарный минус на множестве целых чисел с помощью которого обозначаются отрицательные числа. Например, отрицательное число
−5.

Теперь рассмотрим более подробно, каждое из приведённых свойств группы.

Определение термина

Так какие утверждения называются аксиомами? Примеры аксиом весьма многообразны и не ограничиваются какой-либо одной областью науки. Упомянутый термин пришел из древнегреческого языка и в дословном переводе подразумевает «принятое положение».

Строгое определение этого термина гласит, что аксиома – основной тезис какой-либо теории, не нуждающийся в доказательствах. Широко распространено это понятие в математике (а особенно в геометрии), логике, философии.

Ещё древний грек Аристотель заявил, что очевидным фактам доказательства не нужны. Например, ни у кого не вызывает сомнения, что солнечный свет виден только днём. Развил данную теорию другой математик – Евклид. Пример аксиомы про параллельные прямые, которые никогда не перекрещиваются, принадлежит ему.

Со временем определение термина менялось. Сейчас аксиома воспринимается не только как начало науки, а и как некоторый полученный промежуточный результат, который служит отправной точкой для дальнейшей теории.

История

Впервые термин «аксиома» встречается у Аристотеля (—322 до н. э.) и переходит в математику от философов Древней Греции. Евклид различает понятия «постулат» и «аксиома», не объясняя их различия. Со времён Боэция постулаты переводят как требования (petitio), аксиомы — как общие понятия. Первоначально слово «аксиома» имело значение «истина, очевидная сама по себе». В разных манускриптах «Начал» Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, не совпадает их порядок. Вероятно, переписчики придерживались разных воззрений на различие этих понятий.

Отношение к аксиомам как к неким неизменным самоочевидным истинам сохранялось долгое время. Например, в словаре Даля аксиома — это «очевидность, ясная по себе и бесспорная истина, не требующая доказательств».

Толчком к изменению восприятия аксиом послужили работы российского математика Николая Лобачевского о неевклидовой геометрией, впервые опубликованные в конце 1820-х годов. Ещё будучи студентом, он пытался доказать пятый постулат Евклида, но позднее отказался от этого. Лобачевский сделал вывод о том, что пятый постулат является лишь произвольным ограничением, которое можно заменить другим ограничением. Если бы пятый постулат Евклида был доказуем, то Лобачевский столкнулся бы с противоречиями. Однако, хотя новая версия пятого постулата и не была наглядно-очевидной, она полностью выполняла роль аксиомы, позволяя построить новую непротиворечивую систему геометрии.

Сперва идеи Лобачевского не были признаны (например, о них отрицательно отзывался академик Остроградский). Позднее, когда Лобачевский опубликовал работы на других языках, он был замечен Гауссом, который тоже имел некоторые наработки в области неевклидовой геометрии. Он косвенно высказал восхищение этой работой. Настоящее признание геометрия Лобачевского получила лишь через 10-12 лет после смерти автора, когда была доказана её непротиворечивость в случае непротиворечивости геометрии Евклида. Это привело к революции в математическом мире. Гильберт развернул масштабный проект по аксиоматизации всей математики для доказательства её непротиворечивости. Его планам не суждено было сбыться из-за последовавших теорем Гёделя о неполноте. Однако это послужило толчком к формализации математики. Например, появились аксиомы натуральных чисел и их арифметики, работы Кантора по созданию теории множеств. Это позволило математикам создавать строго истинные доказательства для теорем.

Сейчас аксиомы обосновываются не сами по себе, а в качестве необходимых базовых элементов теории — аксиомы могут быть достаточно произвольными, они не обязаны быть очевидными. Единственным неизменным требованием к аксиоматическим системам является их внутренняя непротиворечивость. Критерии формирования набора аксиом в рамках конкретной теории часто являются прагматическими: краткость формулировки, удобство манипулирования, минимизация числа исходных понятий и т. п. Такой подход не гарантирует истинность принятых аксиом. В соответствии с критерием Поппера, единственный отрицательный пример опровергает теорию и, как следствие, доказывает ложность системы аксиом, при этом множество подтверждающих примеров лишь увеличивает вероятность истинности системы аксиом.

Примеры групп

1. —

   группа действительных чисел без нуля с обычной операцией умножения.

   Следуя аксиомам несложно проверить, что данное множество с операцией умножения является группой:

   • Очевидно, что при умножении двух любых действительных чисел также получится действительное число.
   • Операция умножения является ассоциативной.
   • Роль нейтрального элемента здесь играет привычная нам единица:
     .
   • Для любого числа

     существует обратное ему число — обратная дробь:

     , также являющаяся действительным числом.

   Также данную группу обозначают следующим образом:

   и называют группой обратимых элементов множества действительных чисел или мультипликативной группой поля действительных чисел. Данное название следует из того, что в

   обратимыми являются все числа, кроме
   .

2. —
   группа целых чисел относительно операции сложения.

   Кратко рассмотрим выполнение аксиом для данной группы:

   • Очевидно, что при сложении двух любых целых чисел получится целое число.
   • Операция сложения является ассоциативной.
   • Нейтральным элементом в данной группе является
     .
   • Для любого целого числа

     существует обратное ему число — противоположное число
     ,
     также являющееся целым числом.

3. —
   группа всех геометрических векторов в пространстве относительно операции сложения векторов..

   Это обычные вектора, с которыми мы привыкли работать в прямоугольной декартовой системе координат
   Oxyz.
   Вспомните, что для сложения двух векторов можно использовать правило треугольника или параллелограмма. Для сложения трёх и более векторов необходимо использовать правило многоугольника.

   Рассмотрим выполнение аксиом для данной группы:

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   • Результатом сложения двух любых векторов является вектор.
   • Операция
     сложения векторов
     является ассоциативной.
   • Нейтральным элементом в группе является нулевой вектор
     .
   • Для любого вектора

     существует противоположный ему вектор:
     .

Назначение

Необходимость в принятии аксиом без доказательств следует из индуктивного соображения: любое доказательство вынуждено опираться на какие-либо утверждения, и если для каждого из них требовать своих доказательств, цепочка получится бесконечной. Чтобы не уходить в бесконечность, нужно где-то эту цепочку разорвать — то есть какие-то утверждения принять без доказательств, как исходные. Именно такие, принятые в качестве исходных, утверждения и называются аксиомами.

В современной науке вопрос об истинности аксиом, лежащих в основе какой-либо теории, решается либо в рамках других научных теорий, либо посредством интерпретации данной теории.

Аксиоматиза́ция теории — явное указание конечного или счётного, рекурсивно перечислимого (как, например, в аксиоматике Пеано) набора аксиом и правил вывода. После того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно на этих аксиомах и не опираться на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений.

Выбор аксиом, которые составляют основу конкретной теории, не является единственным. Примеры различных, но равносильных наборов аксиом можно встретить в математической логике и евклидовой геометрии.

Набор аксиом называется непротиворечивым, если исходя из аксиом набора, пользуясь правилами логики, нельзя прийти к противоречию, то есть доказать одновременно и некое утверждение, и его отрицание.

Австрийский математик Курт Гёдель доказал «теоремы о неполноте», согласно которым всякая система математических аксиом (формальная система), в которой можно определить натуральные числа, сложение и умножение, неполна. Это значит, что найдётся бесконечное количество математических утверждений (функций, выражений), ни истинность, ни ложность которых не сможет быть доказана на основании данной системы аксиом. Также, по теореме о неполноте, среди этих невыводимых утверждений будет утверждение о непротиворечивости этой системы.

Понятие теоремы

Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.

Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.

Состав теоремы: условие и заключение или следствие.

Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.

Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.

Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

• если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую;
• если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы

Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам

Способы доказательства геометрических теорем Синтетический или синтез — метод, при котором данное предложение выступает, как необходимое следствие другого, уже доказанного. Аналитический или анализ — обратный синтезу способ. Рассуждения всегда начинаются с доказываемой теоремы и закачиваются другой известной истиной.

Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.

Приемы для доказательства в геометрии:

• Способ наложения — когда одну геометрическую величину накладывают на другую. Этим способом убеждаются в равенстве или неравенстве геометрических протяжений в зависимости от того, совмещаются они или нет при наложении.
• Способ пропорциональности — применение свойств пропорций. Этот способ пригодится для доказательства теорем про подобные фигуры и пропорциональные отрезки.
• Способ пределов — когда вместо данной величины берут свойства другой, близкой к ней. А потом перекладывают эти выводы на исходные данные.

Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.

Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:

• прямая теорема: в треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
• обратная теорема: в треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.

Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.

Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:

• Прямая: если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.
• Обратная: если две прямые параллельны, то при пересечении их третьей, соответственные углы равны.
• Противоположная: если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы не равны, прямые не параллельны.
• Обратная противоположной: если прямые не параллельны, соответственные углы не равны.

В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.

Глава 7. Контроль в системе маркетинга

Задачей маркетингового
контроля является повышение эффективности
всей производственно сбытовой,
научно-технической деятельности, т.е.
всего комплекса маркетинга, и учет
показателей работы фирмы в реальных
условиях развития рынка. Маркетинг
включает три вида контроля.

1. Контроль за
   выполнением годовых планов — заключается
   в том, что сопоставляются текущие
   показатели с контрольными цифрами
   годового плана и, при необходимости,
   принимаются меры к исправлению положения.

2. Контроль прибыльности
   заключается в определении фактической
   рентабельности различных товаров,
   рынков, сегментов рынка и торговых
   каналов.

3. Стратегический
   контроль и ревизия маркетинга —
   заключается в регулярной проверке
   соответствия исходных стратегических
   установок фирмы имеющимся рыночным
   возможностям.

Контроль
за выполнением годовых планов.
Он предполагает учет фактических продаж
и тенденций в сравнении с запланированными
показателями:

учет может вестись
по отдельным товарам и ассортиментным
группам;

по сбытовым
подразделениям и отдельным, продавцам;

по регионам
(территориям, если они небольшие);

по типам потребителей
(очень важно с точки зрения маркетинга);

по временным
периодам (особенно если сезонный товар);

по ценовым линиям;

по методам и формам
сбыта.

Контроль
прибыльности и анализ маркетинга.
Контроль за выполнением годового плана
дополняется контролем рентабельности
деятельности фирмы. Он имеет тоже
определенную структуру и различается
по направлениям фирмы:

• контроль прибыльности
  (рентабельности) по различным товарам
  и ассортиментным группам;

• контроль прибыльности
  по рыночным сегментам;

• контроль по заказам
  различного объема;

• контроль по
  различным рекламным средствам;

• контроль по
  торговым каналам и торговому персоналу.

Стратегический
контроль и ревизия маркетинга.
Время от времени фирме необходимо
производить критическую оценку ее
маркетинговой эффективности в целом.
Стратегический контроль включает в
себя следующие элементы:

• оценку целей и
  задач, стоящих перед фирмой и службой
  маркетинга (они часто сливаются);

• оценку стратегических
  решений;

• оценку тактических
  и оперативных мероприятий;

• оценку организаций
  службы маркетинга.

Стратегический
контроль является основой, на базе
которого осуществляется корректировка
плана маркетинга, может быть даже
предусмотрено его коренное изменение.

Наиболее часто
применяемая структура маркетинговой
ревизии:

1. Ревизия маркетинговой
   среды;

2. Ревизия стратегии
   маркетинга:

• программа
  деятельности фирмы;

• задачи и цели
  маркетинга;

• стратегия;

1. Ревизия организации
   службы маркетинга;

• формальная
  структура;

• эффективность
  функционирования оргструктуры;

• эффективность
  взаимодействия маркетинга с производством,
  научно-исследовательской, закупочной,
  финансовой сферой;

1. Ревизия системы
   маркетинга;

• маркетинговых
  исследований;

• планирования;

• разработки новых
  товаров;

• контроля маркетинга.

1. Ревизия
   результативности маркетинга:

• анализа прибыльности;

• анализа эффективности
  затрат;

1. Ревизия функциональных
   составляющих маркетинга:

• товаров;

• цен;

• распределения;

• ФОССТИСа
  (формирование спроса и стимулирование
  сбыта);

• сбытового аппарата.

Ревизия считается
завершенной, когда по ее результатам
возникает определенная реакция: вносятся
изменения или делается вывод об
эффективности.

По данным портала ЗАЧЕСТНЫЙБИЗНЕСОБЩЕСТВО С ОГРАНИЧЕННОЙ ОТВЕТСТВЕННОСТЬЮ «АКСИОМА РЕКЛАМЫ»По данным портала ЗАЧЕСТНЫЙБИЗНЕС5008050644

О компании:
ООО «АКСИОМА РЕКЛАМЫ» ИНН 5008050644, ОГРН 1095047002720 зарегистрировано 19.03.2009 в регионе Московская Область по адресу: 141707, Московская обл, город Долгопрудный, улица Спортивная, 5 1. Статус: Ликвидировано. Размер Уставного Капитала 10 000,00 руб.

Руководителем организации является: Генеральный Директор — Горячев Александр Павлович, ИНН . У организации 1 Учредитель. Основным направлением деятельности является «деятельность рекламных агентств».

Статус: ?
Ликвидировано

Дата регистрации: По данным портала ЗАЧЕСТНЫЙБИЗНЕС

?
По данным портала ЗАЧЕСТНЫЙБИЗНЕС

19.03.2009

Дата ликвидации: 19.04.2016

ОГРН  ?	1095047002720    присвоен: 19.03.2009
ИНН  ?	5008050644
КПП  ?	500801001

Юридический адрес: ?
По данным портала ЗАЧЕСТНЫЙБИЗНЕС
141707, Московская обл, город Долгопрудный, улица Спортивная, 5 1
получен 19.03.2009
зарегистрировано по данному адресу:
По данным портала ЗАЧЕСТНЫЙБИЗНЕС

По данным портала ЗАЧЕСТНЫЙБИЗНЕС
Руководитель Юридического Лица ?По данным портала ЗАЧЕСТНЫЙБИЗНЕС
Генеральный ДиректорПо данным портала ЗАЧЕСТНЫЙБИЗНЕС

Горячев Александр Павлович

ИНН ?	По данным портала ЗАЧЕСТНЫЙБИЗНЕС
действует с	По данным портала ЗАЧЕСТНЫЙБИЗНЕС 08.05.2014

Учредители ? ()
Уставный капитал: По данным портала ЗАЧЕСТНЫЙБИЗНЕС
10 000,00 руб.

Киндеев Александр Евгеньевич По данным портала ЗАЧЕСТНЫЙБИЗНЕС 10 000,00руб., 19.03.2009 , ИНН

Основной вид деятельности: ?По данным портала ЗАЧЕСТНЫЙБИЗНЕС
73.11 деятельность рекламных агентств

Дополнительные виды деятельности:

Единый Реестр Проверок (Ген. Прокуратуры РФ) ?

Реестр недобросовестных поставщиков: ?
По данным портала ЗАЧЕСТНЫЙБИЗНЕС

не числится.

Налоговый орган ?
По данным портала ЗАЧЕСТНЫЙБИЗНЕС
Межрайонная Инспекция Федеральной Налоговой Службы №13 По Московской Области
Дата постановки на учет: По данным портала ЗАЧЕСТНЫЙБИЗНЕС
19.03.2009

Регистрация во внебюджетных фондах

Фонд	Рег. номер	Дата регистрации
ПФР  ?	060006008661	По данным портала ЗАЧЕСТНЫЙБИЗНЕС 25.03.2009
ФСС  ?	502620419550261	По данным портала ЗАЧЕСТНЫЙБИЗНЕС 20.03.2009

Финансовая отчетность ООО «АКСИОМА РЕКЛАМЫ» ?

В качестве Поставщика: , на сумму

В качестве Заказчика: , на сумму

По данным портала ЗАЧЕСТНЫЙБИЗНЕС

Судебные дела ООО «АКСИОМА РЕКЛАМЫ» ?

найдено по ИНН: По данным портала ЗАЧЕСТНЫЙБИЗНЕС

найдено по наименованию (возможны совпадения): По данным портала ЗАЧЕСТНЫЙБИЗНЕС

По данным портала ЗАЧЕСТНЫЙБИЗНЕС

Исполнительные производства ООО «АКСИОМА РЕКЛАМЫ»
?

найдено по наименованию и адресу (возможны совпадения): По данным портала ЗАЧЕСТНЫЙБИЗНЕС

По данным портала ЗАЧЕСТНЫЙБИЗНЕС

Лента изменений ООО «АКСИОМА РЕКЛАМЫ»
?

Не является участником проекта ЗАЧЕСТНЫЙБИЗНЕС ?

Больше информации об организации — в Премиум доступе

Где еще можно встретить этот термин?

Порой термин «аксиома» используется и не только в рамках математики. Иногда можно услышать выражение «аксиомы жизни». Конечно, с математикой здесь нет ничего общего. Просто иногда аксиомой называют какие-либо жизненные правила, закономерности, которые, по мнению, некоторых людей истинны всегда. Но все это очень и очень субъективно. Можно сказать, что это некая метафора, ассоциация, термин используется как средство выразительности.

Аксиомы – это не только сложные формулировки, интересные только ученым. Как уже стало понятно, со многими из них можно познакомится в базовом школьном курсе, а это говорит о том, что они могут применяться в повседневной жизни, развивают мышление, помогают видеть решения. Например, кто сможет ответить на вопрос о том, почему стул на трех ножках может оказаться более устойчивым, чем стул с четырьмя. И почему, если стол стоит неровно, под одну их ножек добавляют что-то для опоры? Ответ, как ни странно, следует искать в аксиомах.

Аксиомы не опровергают, но всегда есть возможность проверить их. Также аксиома не требует, чтобы ее суть была объяснена, это просто констатация.

Понятие аксиомы

Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.

Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.

Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.

Основные аксиомы евклидовой геометрии Через любые две точки проходит единственная прямая. Каждая точка на прямой разбивает эту прямую на две части так, что точки из разных частей лежат по разные стороны от данной точки. А точки из одной части лежат по одну сторону от данной точки. На любом луче от его начала можно отложить только один отрезок, равный данному. Отрезки, полученные сложением или вычитанием соответственно равных отрезков — равны. Каждая прямая на плоскости разбивает эту плоскость на две полуплоскости. При этом если две точки принадлежат разным частям, то отрезок, который соединяет эти две точки, пересекается с прямой. Если две точки принадлежат одной части, то отрезок, соединяющий эти точки, не пересекается с прямой. От любого луча на плоскости в заданную сторону можно отложить только один угол, который равен данному. Все развернутые углы равны. Углы равны, если они получились путем сложения или вычитания соответственно равных углов.

Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.

А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.

Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:

Через любую точку, которая расположена вне данной прямой, можно провести только одну прямую параллельную данной.

Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.

У этой аксиомы два следствия:

• прямая, которая пересекает одну параллельную прямую, обязательно пересекает и другую;
• если две прямые параллельны третьей, то между собой они также параллельны.

Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:

Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.

На картинке можно увидеть, как это выглядит:

Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.

Аксиома Евклида

Поскольку термин «аксиома» был известен еще в древней Греции, то, очевидно, что и математические работы, в которых он появляется, были созданы тогда же.

Чаще всего понятие аксиомы связывают с именем древнегреческого философа и математика Евклида и его пятым постулатом, которые еще называют аксиомой параллельности Евклида. Именно эта аксиома стала позднее предметом работы Н.И. Лобачевского, которая повлияла на дальнейшее развитие математики. Труды Евклида в свое время считались огромным прорывом и достижением.

В современных учебниках геометрии, можно встретить формулировку, которая равносильна пятому постулату. Звучит она так: «В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной». Эта аксиома, скорее всего, знакома каждому школьнику из базового курса геометрии. Ее так же иногда называют аксиомой Плейфера. Джон Плейфер – известный шотландский математик.

Хорошее знание аксиом обычно очень помогает при освоении школьного курса геометрии, поскольку без них невозможна работа по доказательству различных теорем. И в решении задач они так же помогают. Некоторые аксиомы из базовой геометрии кажутся довольно очевидными, хотя во времена, когда они были только впервые сформулированы, это был рывок в развитии математики. Или, скорее, философии. Другие кажутся несколько сложнее, необходимо лишь время, чтобы в них разобраться.

Аксиомы стереометрии

Для примера стоит рассмотреть одну из известных аксиом стереометрии. Она тоже изучается в базовом школьном курсе и скорее всего, знакома очень многим. Эта аксиома гласит, что если у двух плоскостей есть общая точка, то они имеют и общую прямую, которой принадлежат все общие точки этих плоскостей. Некоторым бывает сложно сразу представить то, о чем говорится в аксиомах. Если обратить все в более сжатую и понятную форму, то в этой аксиоме говорится о пересечении двух плоскостей. Причем пересекаются они по прямой. Это проиллюстрировано на приведенном ниже рисунке. В учебниках так же всегда приводятся подробные иллюстрации и объяснения.

Утверждения из школьного курса

Школьники знакомятся с не требующими подтверждения постулатами на уроках математики. Поэтому, когда выпускникам старших классов дают задание: «Приведите примеры аксиом», они чаще всего вспоминают курсы геометрии и алгебры. Вот образцы часто встречающихся ответов:

• для прямой есть точки, которые к ней относятся (то есть лежат на прямой) и не относятся (не лежат на прямой);
• прямую можно прочертить через любые две точки;
• чтобы разбить плоскость на две полуплоскости, нужно провести прямую.

Алгебра и арифметика в явном виде подобных утверждений не вводят, но пример аксиомы можно найти и в этих науках:

• любое число равно самому себе;
• единица предшествует всем натуральным числам;
• если k=l, то и l=k.

Так, через простые тезисы вводятся более сложные понятия, делаются следствия и выводятся теоремы.

Понятия свойств и признаков

У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.

Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.

Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.

Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.

Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.

Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.

Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.

А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.

Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.

Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:

Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.

Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.

Вникать во все тонкости математической вселенной комфортнее с внимательным наставником. Наши учителя объяснят сложную тему, ответят на неловкие вопросы и вдохновят ребенка учиться. А красочная платформа с увлекательными заданиями поможет заниматься современно и в удовольствие. Запишите ребенка на бесплатный вводный урок математики в онлайн-школе Skysmart и попробуйте сами!

Построение научной теории на основе аксиом

Чтобы построить научную теорию (неважно о какой области исследований идёт речь), нужна основа – кирпичики, из которых она будет складываться. Суть аксиоматического метода: создаётся словарь терминов, формулируется пример аксиомы, на базе которого выводятся остальные постулаты

Научный глоссарий должен содержать элементарные понятия, то есть те, которые невозможно определить через другие:

• Последовательно объясняя каждый термин, излагая его значения, доходят до основ любой науки.
• Следующий шаг – выявление базового набора утверждений, который должен быть достаточным для доказательства остальных утверждений теории. Сами же базовые постулаты принимаются без обоснования.
• Заключительный шаг – построение и логический вывод теорем.